2018-11-05

更新

CASL2で累乗を実現

今回は、CASL2を使った「累乗」について見てみたいと思います。

ループ処理を用いた累乗
1. 解説
累乗とは？
1. 指数と底
2. 指数がゼロの場合

ループ処理を用いた累乗

例1：5² の計算

1　 MAIN 　START 　
2　　　LD　GR1, IDX 　
3　　　LD　GR2, BAS 　
4　　　CALL　POW 　
5　　　ST　GR0, ANS 　;答えをANS番地に格納
6　　　RET 　
7　　　　
8　 POW 　CPA　GR1, =0 　;指数と0を比較
9　　　JNZ　NX 　;指数が0でないならNXに移動
10　　　LAD　GR0, 1 　;GR0に1を転送
11　　　RET 　
12　 NX 　LD　GR0, GR2 　;底をGR0に転送
13　　　LAD　GR1, -1, GR1 　;指数をデクリメント
14　　　LAD　GR2, -1, GR2 　;底をデクリメント
15　 LP1 　CALL　MUL 　;MULサブルーチンの行に移動
16　　　SUBA　GR1, =1 　;指数をデクリメント
17　　　JPL　LP1 　;指数が0より大きいならLP1に移動
18　　　RET 　
19　　　　
20　 MUL 　LD　GR3, GR0 　;底を編集用にGR3に転送
21　 LP2 　ADDA　GR0, GR2 　;底に底を加算
22　　　SUBA　GR3, =1 　;底から -1
23　　　JPL　LP2 　;底が0より大きいならLP2に移動
24　　　RET 　
25　　　　
26　 IDX 　DC　2 　;指数
27　 BAS 　DC　5 　;底
28　 ANS 　DS　1 　;答え
29　　　END 　

シミュレータにそのままコピー&ペーストで使えます。

解説

このループを用いた累乗は、単純に指数で示される値分掛け算を繰り返すことで実現しています。

掛け算自体は、「ループ処理を用いた乗算」を用いています。

参考アセンブリ言語CASL2での乗算のやり方

プログラム上で、赤字で示される8～11行のコードは、指数が0の場合(n⁰)に基数(底)がどんな値であれ必ず1になるので、その処理を行っています。

それでは、机上デバッグもどきでデータの流れを見てみます。

以下のデバッグは長いですが、興味のある方は見てみてください。

また、シミュレータをお持ちの方はそちらで動作を確認してみてください。

例1のPOW(8～18行)のトレース

初期状態

【汎用レジスタ】

GR0 ?
GR1 10
GR2 101
GR3 ?

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

8行　CPA GR1, =0

【汎用レジスタ】

GR0 ?
GR1 10
GR2 101
GR3 ?

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

CPA命令で、GR1の値 2 と 0 を比較します。
2 > 0 なのでフラグレジスタに変化はありません。

9行　JNZ NX

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

ZFが0なので、JNZ命令で指定されたラベル「NX」に移動し12行を処理します。

12行　LD GR0, GR2

【汎用レジスタ】

GR0 101
GR1 10
GR2 101
GR3 ?

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

13行　LAD GR1, -1, GR1

【汎用レジスタ】

GR0 101
GR1 1
GR2 101
GR3 ?

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

14行　LAD GR2, -1, GR2

【汎用レジスタ】

GR0 101
GR1 1
GR2 100
GR3 ?

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

～1ループ目～

15行　CALL MUL

CALL命令で、「MUL」サブルーチンを呼び出し、20行を処理します。

～MULサブルーチン内～

20行　LD GR3, GR0

【汎用レジスタ】

GR0 101
GR1 1
GR2 100
GR3 101

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

～1ループ目～

21行　ADDA GR0, GR2

【汎用レジスタ】

GR0 1001
GR1 1
GR2 100
GR3 101

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

GR0の値が9になるため、フラグレジスタに変化はありません。

22行　SUBA GR3, =1

【汎用レジスタ】

GR0 1001
GR1 1
GR2 100
GR3 100

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

GR3の値が4になるため、フラグレジスタに変化はありません。

23行　JPL LP2

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

ZFが0、SFが0なので、JPL命令で指定されたラベル「LP2」に移動し21行を処理します。

～2ループ目～

21行　ADDA GR0, GR2

【汎用レジスタ】

GR0 1101
GR1 1
GR2 100
GR3 100

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

GR0の値が13になるため、フラグレジスタに変化はありません。

22行　SUBA GR3, =1

【汎用レジスタ】

GR0 1101
GR1 1
GR2 100
GR3 11

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

GR3の値が3になるため、フラグレジスタに変化はありません。

23行　JPL LP2

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

ZFが0 かつ SFが0 になり、JPL命令で指定されたラベル「LP2」に移動し21行を処理します。

～3ループ目～

21行　ADDA GR0, GR2

【汎用レジスタ】

GR0 10001
GR1 1
GR2 100
GR3 11

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

GR0の値が17になるため、フラグレジスタに変化はありません。

22行　SUBA GR3, =1

【汎用レジスタ】

GR0 10001
GR1 1
GR2 100
GR3 10

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

GR3の値が2になるため、フラグレジスタに変化はありません。

23行　JPL LP2

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

ZFが0、SFが0なので、JPL命令で指定されたラベル「LP2」に移動し21行を処理します。

～4ループ目～

21行　ADDA GR0, GR2

【汎用レジスタ】

GR0 10101
GR1 1
GR2 100
GR3 10

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

GR0の値が21になるため、フラグレジスタに変化はありません。

22行　SUBA GR3, =1

【汎用レジスタ】

GR0 10101
GR1 1
GR2 100
GR3 1

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

GR3の値が1になるため、フラグレジスタに変化はありません。

23行　JPL LP2

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

ZFが0、SFが0なので、JPL命令で指定されたラベル「LP2」に移動し21行を処理します。

～5ループ目～

21行　ADDA GR0, GR2

【汎用レジスタ】

GR0 11001
GR1 1
GR2 100
GR3 1

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
0 0 0

GR0の値が25になるため、フラグレジスタに変化はありません。

22行　SUBA GR3, =1

【汎用レジスタ】

GR0 11001
GR1 1
GR2 100
GR3 0

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
1 0 0

GR3の値が0になるため、フラグレジスタが変化します。

23行　JPL LP2

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
1 0 0

ZFが1、SFが0なので、JPL命令で指定されたラベル「LP2」に移動せず24行を処理します。

24行　RET

RET命令で、「MUL」サブルーチンを抜けて、呼び出し元の「POW」サブルーチンに戻り16行を処理します。

16行　SUBA GR1, =1

【汎用レジスタ】

GR0 11001
GR1 0
GR2 100
GR3 0

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
1 0 0

GR1の値が0になるため、フラグレジスタが変化します。

17行　JPL LP1

【フラグレジスタ】
ZF SF OF
1 0 0

ZFが1なので、JPL命令で指定されたラベル「LP1」に移動せず18行を処理します。

18行　RET

RET命令で、「POW」サブルーチンを抜けて、呼び出し元の「MAIN」サブルーチンに戻り処理を終了します。

以上で処理が終了し、GR0が答えです。

GR0：(11001)₂ = 25

5² = 25

5² は、25なので、正しい答えになっていますね。

累乗とは？

累乗とは、何回に渡って同じ数字を掛け合わせたのかを表すための表記です。

例えば、以下のような表現を用います。

このように表すことで、「2を100回掛け算したい」場合に、2 × 2 × 2...と長い掛け算の式を書かずに済み、整然と表記できるためです。

指数と底

本体の大きい方の数字を「底」、右上の小さい数字を「指数」と呼びます。

指数がゼロの場合

指数がゼロの場合、底がどんな数値であろうとも無条件で1になります。

例えば、

・2⁰ = 1

・10⁰ = 1

・100⁰ = 1

ただし、0⁰ は、この限りではありません。

この限りではないというのは、便宜上...

・0⁰ = 1

・0⁰ = 0

の両方の場合があるためです。

本ブログでは便宜上、0⁰ = 1 として扱うことにしています。

もうこの辺の定義については偉い数学者の方々に任せておきましょう。(笑)

アホの俺には分からん(^^);

最後に

累乗の計算は奥が深いですね～。

特に、0の0乗って本当に謎ですよね。

0の0乗で、ググると賢い方々が色々と解説してくださっているので、興味のある方は是非調べてみてください。

それでは、続きはまた次回にご期待を！

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1	MAIN	START
2		LD　GR1, IDX
3		LD　GR2, BAS
4		CALL　POW
5		ST　GR0, ANS	;答えをANS番地に格納
6		RET
7
8	POW	CPA　GR1, =0	;指数と0を比較
9		JNZ　NX	;指数が0でないならNXに移動
10		LAD　GR0, 1	;GR0に1を転送
11		RET
12	NX	LD　GR0, GR2	;底をGR0に転送
13		LAD　GR1, -1, GR1	;指数をデクリメント
14		LAD　GR2, -1, GR2	;底をデクリメント
15	LP1	CALL　MUL	;MULサブルーチンの行に移動
16		SUBA　GR1, =1	;指数をデクリメント
17		JPL　LP1	;指数が0より大きいならLP1に移動
18		RET
19
20	MUL	LD　GR3, GR0	;底を編集用にGR3に転送
21	LP2	ADDA　GR0, GR2	;底に底を加算
22		SUBA　GR3, =1	;底から -1
23		JPL　LP2	;底が0より大きいならLP2に移動
24		RET
25
26	IDX	DC　2	;指数
27	BAS	DC　5	;底
28	ANS	DS　1	;答え
29		END

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